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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL EN LAS LEYES DE KIRCHHOFF
Las leyes de Kirchhoff fueron postuladas por el fisico prusiano Gustav Kirchoff en el año de 1845.Son dos reglas y simplemente son aplicaciones convenientes de las leyes de conservación de la carga y la energia.
En esta presentacion se explicara de que trata estas leyes y como es la incidencia que tiene el álgebra lineal, en esta caso haciendo uso de matrices para una resolución mucho más sencilla.
PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF
Regla de los nodos
Esta ley establece que la suma de las corrientes que entran al nodo debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen del nodo.Para aplicar esta ley se debera asignar el signo según una dirección de referencia, si sale del nodo la corriente es positiva y si entra al nodo la corriente es negativa.Se debe recordar que un nodo sera un punto donde se unen más de dos conductores o ramas del circuito.
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
Regla de las espiras
Esta ley se basa en la conservacion de la energia y establee que la suma algebraica alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito debe ser cero.
Para la resolucion de problemas que impliquen estas leyes existen diferentes maneras, sin embargo en esta ocasion se utilizara matrices y sus respectivos para resolverlo en este caso se optara por el metodo de Gauss-Jordan
EJEMPLO
Dado los valores de las resistencias y de las fuentes de voltaje,determinar las intensidades de corriente,caida de potencial o voltaje de cada uno de las resistencias y la potencia que hay en cada una de las resistencias
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Analisis nodos
La corriente 1 llega al nodo por lo tanto es positiva,la corriente 2 sale del nodo por lo que sera negativa,y la corriente 3 llega al nodo por lo tanto sera positiva y la suma de todas ellas seran igual a cero.
En el nodo dos se considera que la corriente 4 sale del nodo, la corriente 5 llega al nodo y la corriente 3 sale del nodo dos,esto quedara de la siguiente manera
I1-I2+I3=0
-I3-I4+I5=0
Análisis por mallas
El análisis se hara al sentido de la manecillas del reloj,por lo tanto en la primera resistencia el voltaje es positivo y de acuerdo con la ley de Ohm el voltaje es el producto de la resistencia por la intensidad de corriente, entonces quedara 10 I1
Ahora se analizara la resistencia dos, en la cual se encuentra en contracorriente por lo tanto el voltaje es positivo y de acuerdo con la ley de Ohm quedara 5 I2,
como se va de positivo a negativo nuestro voltaje va ser menos el voltaje uno de 12.5 y eso sera igual a cero.
10I1+5I2-12.5=0
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En esta malla se utilizara la misma direccion , asi que al analizar la resistencia 2 como vamos en el mismo sentido de la corriente , el voltaje sera negativo -5 I2
La resistencia 3 va en la misma direccion de la corriente tambien va ser negativo por lo que quedara -15 I3
Para el analisis de la resistencia 4 se ira en contracorriente por lo tanto el voltaje es positivo ,es decir 12 I4.Juntando todo el analisis de esta malla en una ecuacion quedara de esta manera:
-5 I2-15 I3 +12 I4=0
En esta malla la direccion que se utilizara sera la de las manecillas del reloj .Asi que como la resistencia 4 esta en la misma direccion de la corriente el voltaje sera negativo y quedara como -12 I4.
Ahora analizamos la resistencia 5, tambien va en la misma dirección de la corriente por lo que el voltaje sera negativo , quedando -30 I5.
En el voltaje dos ,nos movemos de negativo a positivo, por lo que quedara un voltaje positivo de 24. Juntando todo el analisis de esta malla en una ecuacion nos quedara como:
-12 I4 -30I4 +24=0
Agrupando todas las ecuaciones que se obtuvieron de los respectivos analisis de mallas y nodos se obtiene un sistema de ecuaciones , el cual lo representaremos como una matriz aumentada
Esta matriz se resolvera utilizando el metodo de Gauss-Jordan.Este mpetodo consiste en transformar la matriz que se tiene en una matriz identidad,a traves de varias operaciones entre sus respectivas filas.
Resolviendo la matriz aumentada por el metodo de Gauss-Jordan se obtiene todos los valores de las intensidades del sistema
Ahora para encontrar los voltajes del sistema se procede a reemplazar los valores que se hallaron de la intensidad y se los multiplicara por la resistencia
Ahora para determinar las potencias se multiplicara la intensidad por el voltaje anteriormente calculado
Conclusión
El álgebra lineal siendo una rama de las matematicas que estudia vectores matrices ,espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal tiene muchas aplicaciones en la ciencia y en este caso fue de gran ayuda para la resolucion ante problemas que abarcan las leyes de Kirchhoff, por ello el estudio de esta rama es tan indispensable para varios campos de la ingenieria ya que es las aplicaciones que se le puede dar para la resolucion de problemas son ilimitadas.